Нда... нашёл ошибку. Забыл указать имя формы. Дописал в <form name="mailform"> и всё заработало...
Я и не ожидал, что у вас не работало именно из-за отсутствия названия формы! Очень странно.


Решил поделиться альтернативным решением, но по смыслу почти такое же.

Название формы будет уже не обязательным и событие onsubmit в теге form тоже.

Делаем:
1. Дописываем у кнопки отправки формы событие по клику:
<input type="submit" name="submit" value="Отправить заявку" onclick="sendform()" />

2. В самой функции sendform() строку return true; заменяем на вот эту
document.forms[0].submit();

Всё.

Получается, что по клику на кнопку отправки, проверяется заполненность полей и если всё нормально, то выполнение функции доходит до строки, в которой мы сами и даём комманду отправки данных! Думаю, тоже неплохое решение. Удачи.